lunedì 14 marzo 2016

Il cioccolato infinito e l'equivalenza tra superfici

Oggi è il Pigreco-day e stranamente quest'anno non ho pensato a niente di particolare da proporre a scuola... Sento allora il dovere morale di scrivere almeno un post matematico e questa è l'occasione giusta per sistemare e pubblicare un articoletto che ho iniziato tempo fa ma che non sono mai riuscito a finire. Ok, non c'entra moltissimo col Pigreco ma ci accontentiamo..

In una delle mie classi nelle ore di geometria si stava parlando di equivalenza tra superfici, un argomento non troppo difficile ma fondamentale per poter capire teoremi del calibro di Pitagora e di Euclide e che quindi non va preso sottogamba.

Uno dei primi concetti che si imparano è quello di equiscomponibilità: per farla breve se due superfici sono scomponibili in parti con la stessa area allora avranno la stessa area. Niente di che, è lo stesso concetto alla base dei giochini tipo tangram in cui un quadrato viene diviso in parti e queste parti vengono poi ricombinate per formare figure diverse che avranno però necessariamente la stessa area del quadrato iniziale.
Parlando di questi argomenti mi è venuto in mente un video che avevo visto girare in rete in cui si mostra come creare dal nulla un pezzo di cioccolato. Lo conoscete? In pratica si prende una tavoletta di cioccolato da 24 quadretti (6x4), la si taglia in un certo modo e si cambia la posizione delle parti ricomponendo un rettangolo uguale a prima ma in cui come per magia avanza un quadrettino. Eccolo qui:


Incredibile vero? Cioccolato a volontà per tutti!
Evidentemente, come in tutti i giochi di prestigio, il trucco da qualche parte c'è e per trovarlo si può ricorrere appunto alla geometria ed è proprio quello che ho fatto fare ai miei studenti.
Il principio di equiscomponibilità ci assicura che la figura finale non può essere identica a quella iniziale perchè manca quel piccolo quadrettino. Questo significa che la tavoletta ricostruita deve essere più piccola di quella originale, esattamente un quadratino in meno. Ma dov'è questo buco e perchè non si vede?
Come sempre mi sono appoggiato al fido geogebra con cui abbiamo riprodotto in classe il disegno della tavoletta di cioccolato.
Questo è quello che abbiamo ottenuto e qui la differenza tra le due figure è evidente!



La cosa interessante che si nota in questo disegno è che il famoso quadrettino mancante (indicato con D) deve essere equivalente alla striscia che si trova in alto e colorata in azzurro nel rettangolo di destra! Nel video non si notava perchè la tavoletta di cioccolato è un oggetto reale, non ideale e pertanto i bordi dei tagli non sono mai precisissimi. Inoltre la striscetta mancante è sottile rispetto al totale (è alta solo un quarto di quadrettino) e a occhio non si vede.
Ecco risolto l'arcano, bastava fare il disegno con precisione per scoprirlo: l'equiscomponibilità non lascia scampo!

Peccato, niente cioccolato infinito ma come mi hanno fatto notare i ragazzi questo può essere un buon modo per rubare un quadretto di cioccolato senza farsi scoprire!

Al termine della lezione abbiamo visto in classe anche questo video che spiega bene tutto questo procedimento:



Chiudo con una piccola riflessione: con questa lezione (e questo post) ho contribuito a svelare il trucco di un gioco di prestigio ma sono convinto che questo non ne tolga il fascino. E' un po' come sapere come si forma un arcobaleno o cosa sono davvero le stelle: se non se ne sa nulla si apre il campo alla poesia ma se invece se ne conoscono i dettagli il loro fascino trova una motivazione senza venirne sminuito. E resta comunque spazio per la poesia.
Saperne di più su qualcosa può solo portare beneficio. 
In tutti i sensi.

Buon Pigreco-day a tutti!

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